非常时期在家备考丨数学:提升解题境界,使问题“成片开发”
写在前面:
延迟开学的日子,是自我调整的日子,是弯道超车的日子,是探索属于自己的学习方式的日子。居家学习更需要同学们安排好学习时间,提高自主学习的效率,宁愿一时受冷蹲在屋顶蹭网,不贪小小温暖躲在被窝打卡。居家学习的二轮复习阶段要注意以下几个方面。
作者:张培强,徐州一中高三年级数学教研组长
一、制定二轮微专题复习计划。根据学校网课的安排,以及自身的学习情况,制定适切的二轮微专题复习计划,将自己的弱项纳入到计划中,每天都要通过训练与反思对弱项问题进一步强化提升,严格执行复习计划,提高时间效益。
二、提高上网课的效率。及时完成老师布置的任务,标记疑难,做好提问的准备。上网课的时候跟上老师或发言同学的思路进行思考,积极参与课堂的互动,及时有重点的做好笔记,整理解答过程。
三、坚持每天的基础训练。操千曲而后晓声,观千剑而后识器。从现在到高考,都要坚持基础题的熟手训练。根据老师布置的基础训练,结合自己手里的材料,做到每天进行一次基础训练。
四、继续强化中档题的训练。每天安排一次中档题训练,包括填空题中的第10-13题,解答题中的第17-18题,理科再加上第22题,及时按高考评分要求批改、订正、反思,总结方法,积累经验,提升能力。
五、整理错题做好反思。题海无边,反思才能帮你到岸。及时整理错题,反思错因,优化方法,积累经验。对于自己的高频易错点,可以将做过的类似题翻出来再做、再反思,以达到解一题,通一类之效。
六、深化对题目的研究。数学家哈尔莫斯说过:问题是数学的心脏。数学家波利亚说过:掌握数学就是意味着善于解题。学数学,归根结底在于对题目的研究。在常规的解题训练之外,每天可以安排一道题目的深入解决,将你的探索历程记录在一个专门的本子上。
关于解题,在数学的江湖中流传着“五重境界”说:
第一层境界:正确解题
兵来将挡,水来土掩,见招拆招。很多同学以为如果一道题目做错,订正一下,知道哪里错了,怎么做,就行了,其实这只是最低境界。
第二层境界:一题多解
多点开花,条条大道通罗马;似倚天剑轻灵无双,剑招千变万化,虚实相间,谁与争锋。我们要养成的良好习惯是,不要满足于用一种做法和思路解题。一道题目做完之后想一想还有没有其它方法,哪种方法更简单。对于最后的结果,是不是可以有其它的合理解释。
第三层境界:多题一解
以静制动,以不变应万变,一招制敌;似玄铁神器,重剑无锋,却刚猛异常,一剑挥下,纵它千百变,亦必摧之。完成一道题目的分析后,尝试推而广之,或者把其中的数字换成字母,或者把一些条件做一些改变,从这道题目延伸出去,探究与此相关的一类题目。
第四层境界:发现定理
无招胜有招,渐成大家;至此境界,草木皆为利刃,随心所欲,敌未动,已毙于无形。到了这个境界,可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库。
第五层境界:自己编题
自成一派,独孤求败;高处不胜寒,自己跟自己玩解题的最高境界是能够编题。不是所有的人都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目,会知道出题者的意图,会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错误,他也能够很快地纠正纠偏。
同学们,你可以先自我判断一下,你现在在那一层呢?
下面,以一道题目为例,与同学们一块经历这五重境界:
例.已知正数x,y满足x+y=3,则
的最小值为________.这样一类多元最值问题,我们见过几十遍了,是考查基本不等式的常见题型。
第一层境界:正确解题相信多数同学都已经达到了,不必多言。
第二层境界:一题多解这一层,相信很多同学也都能娓娓道来。首先,可以采取消元的方式,得到一元的分式和(如
),之后考虑导数求最值、通分后使用基本不等式等均可;其次,采用“1”的代换,将待求乘上
(也就是1),展开后使用基本不等式即可。(关于这类问题的解决,如果你还有疑问,可以扫码回看市彭城课堂的微课:基本不等式的基本模型)
第三层境界:多题一解
到这一层,我们要把题目进行归类提炼。这类题目无非是已知两个变元的和求倒数和的最小值,或已知两个变元的倒数和求和的最小值,即下面两个题型:题型1:由△+□=6,求
的最小值;题型2:由
,求△+□的最小值。
第四层境界:发现定理
过了第三层,你能熟练将题目题型化、套路化了,这可以助你解决高考中的大部分题目。接着,你要思考的是:还能再优化一下,再省劲一点吗?我们不妨把“1”的代换过程变一下形,得到
(常数),再尝试一般化,就可以得到:
(常数),最小值就直接出来了(这其实就是盛于数学江湖的权方和不等式)。
第五层境界:自己编题
解题,要经历“见山是山,见山不是山,见山又是山”的参悟过程。就如同“1”的代换,1非1,实为形式非1而实质是1,1还是1。那么“△”、“□”是什么?是x,是x+2,也是sin x,
如此,题目就源源不断地来了。
同学们,你Get到了吗?
数学家波利亚指出:“好问题同某种蘑菇,有些相像,它们成堆地生长,找到一个以后,你就应当在周围找一找,很可能附近就有好几个。”问题解决只是解题的第一步,之后,从解决的问题出发,运用类比、联想、特殊化、一般化等思维方法,创编派生出一些常规问题和开放性问题,使得问题“成片开发”,提升素养。或许,在不久的高考考场中,你会见到你自己编的题。